Question

【題目】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的內部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°﹣α時，探索下面兩個問題： ①如圖1，當OC在OD左側，求∠MON的度數；
②當OC在OD右側，請在圖2內補全圖形，并求出∠MON的度數（用含α的代數式表示）；
（2）如圖3，當∠COD=kα，且OC在OD左側時，直接寫出∠MON的度數（用含α、k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如圖1，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∴∠AOM+∠BON= （∠AOC+∠BOD），

∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，

∴∠AOM+∠BON= （2α﹣180°）=α﹣90°，

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°

②當OC在OD右側，補全圖形如圖2所畫，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，

∴∠AOM+∠BON= ×180°=90°，

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°

（2）解：∠MON的度數為 （1+k）α．

理由：如圖3，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∴∠AOM+∠BON= （∠AOC+∠BOD），

∵∠AOB=α，∠COD=kα，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，

∴∠AOM+∠BON= （α﹣kα）= α（1﹣k），

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣ α（1﹣k）= （1+k）α

【解析】（1）①根據角平分線的定義，得出∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根據∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，進而得出∠AOM+∠BON= （2α﹣180°）=α﹣90°，最后根據∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）進行計算即可；②根據①中的方法進行計算，即可得出∠MON的度數；（2）先根據角平分線的定義，得出∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根據∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，進而得到∠AOM+∠BON= （α﹣kα）= α（1﹣k），最后根據∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）進行計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角的平分線的相關知識，掌握從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線，以及對角的運算的理解，了解角之間可以進行加減運算；一個角可以用其他角的和或差來表示．