Question

已知如圖，點A（m，3）與點B（n，2）關于直線y=x對稱，且都在反比例函數y=的圖象上，點D的坐標為（0，-2）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若過B，D的直線與x軸交于點C，求sin∠DCO的值．

Answer 1

解：（1）∵A（m，3）與B（n，2）關于直線y=x對稱，
∴m=2，n=3，
即A（2，3），B（3，2）．
于是由3=，
∴k=6，
∴反比例函數的解析式為y=；

（2）設直線的解析式為y=kx+b，
將B（3，2），D（0，-2）代入得：，
解得：，
故直線BD的解析式為y=x-2，
∴當y=0時，
∴x=1.5．
即C（1.5，0），
于是OC=1.5，DO=2，
在Rt△OCD中，DC=，
∴sin∠DCO=．
說明：過點B作BE⊥y軸于E，則BE=3，DE=4，從而BD=5，sin∠DCO=sin∠DBE=．
分析：（1）由點A（m，3）與點B（n，2）關于直線y=x對稱，根據對稱特點，易求m、n，從而用待定系數法可求反比例函數的解析式；
（2）由點B、D坐標能求直線BD解析式，進而易求點C坐標；根據坐標意義，可求OC、OD、CD長度，運用三角函數定義就能解出sin∠DCO的值．
點評：本題難度中等，主要考查反比例函數、一次函數的圖象和性質及三角函數定義，也考查了利用待定系數法確定函數的解析式．