Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M是x軸上的一個動點，當△DCM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，詳見解析；（3）

【解析】

（1）把點的坐標代入拋物線解析式，列出關于系數的方程，通過解方程求得的值；利用配方法把拋物線解析式轉化為頂點式方程，根據該解析式直接寫出頂點的坐標；

（2）利用點、、的坐標來求線段、、的長度，得到，則由勾股定理的逆定理推知是直角三角形；

（3）作出點關于軸的對稱點，則．連接交軸于點，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，一定，當的值最小時，的周長最小．利用待定系數法求得直線的解析式，然后把代入直線方程，求得．

解：（1）點在拋物線上，

，

解得，

拋物線的解析式為．

，

頂點的坐標為；

（2）是直角三角形．理由如下：

當時，，

，則．

當時，，

，，則，

，，

．

，，，

，

是直角三角形；

（3）作出點關于軸的對稱點，則．

連接交軸于點，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，一定，當的值最小時，的周長最小．

設直線的解析式為，則

，

解得，

．

當時，，則，

．