Question

【題目】已知，點M是二次函數y=ax2（a＞0）圖象上的一點，點F的坐標為（0，），直角坐標系中的坐標原點O與點M，F在同一個圓上，圓心Q的縱坐標為．

（1）求a的值；

（2）當O，Q，M三點在同一條直線上時，求點M和點Q的坐標；

（3）當點M在第一象限時，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，求證：MF=MN+OF．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）設Q（m，），F（0，），由QO=QF，根據勾股定理列出方程即可求得a值；（2）設M（t，t2），Q（m，），根據KOM=KOQ，求出t、m的關系，根據QO=QM列出方程即可解決問題．（3）設M（n，n2）（n＞0），則N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解決問題．

試題解析：（1）∵圓心O的縱坐標為，

∴設Q（m，），F（0，），

∵QO=QF，

∴m2+（）2=m2+（﹣）2，

∴a=1，

∴拋物線為y=x2．

（2）∵M在拋物線上，設M（t，t2），Q（m，），

∵O、Q、M在同一直線上，

∴KOM=KOQ，

∴=，

∴m=，

∵QO=QM，

∴m2+（）2=（m﹣t）2=（﹣t2）2，

整理得到：﹣t2+t4+t2﹣2mt=0，

∴4t4+3t2﹣1=0，

∴（t2+1）（4t2﹣1）=0，

∴t1=，t2=﹣，

當t1=時，m1=，

當t2=﹣時，m2=﹣．

∴M1（，），Q1（，），M2（﹣，），Q2（﹣，）．

（3）設M（n，n2）（n＞0），

∴N（n，0），F（0，），

∴MF===n2+，MN+OF=n2+，

∴MF=MN+OF．