Question

在△ABC中，以AD為直徑的圓與△ABC的邊BC相切于點D，交AB、AC于點E、F．
（1）說明：∠BAC+∠EDF=180°；
（2）若BD=CD，探索：∠EDF與∠C之間有何數量關系？說明你的理由．

Answer 1

（1）證明：∵AD為直徑，∴∠AED=∠AFD=90°，
在四邊形AEDF中，∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠BAC+∠EDF=180°；

（2）解：∠EDF=2∠C．
理由：∵⊙O與BC相切于D點，AD為直徑，
∴AD⊥BC，
又∵BD=CD，∴AD為BC邊的中垂線，
∴AB=AC，∴∠B=∠C，
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠BAC+∠EDF=180°，
∴∠EDF=∠B+∠C=2∠C．
分析：（1）根據AD為直徑，∠AED=∠AFD=90°，再由四邊形內角和定理證明∠BAC+∠EDF=180°；
（2）由于⊙O與BC相切于D點，AD為直徑，可證AD⊥BC，而BD=CD，則AD為BC邊的中垂線，可證△ABC為等腰三角形，得∠B=∠C，再根據三角形內角和定理及（1）的結論探索關系．
點評：本題考查了切線的性質，圓周角定理．關鍵是由圓周角定理證明直角，由切線的性質證明垂直關系．