Question

【題目】如圖（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，BC=15cm，若動點P從點C開始沿著C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒5cm，設點P運動的時間為t秒．

（1）點P運動2秒后，求△ABP的面積；

（2）如圖（2），當t為何值時，BP平分∠ABC；

（3）當△BCP為等腰三角形時，直接寫出所有滿足條件t的值．

Answer 1

【答案】（1）50（2）10.5（3）5.5、6、6.6、9

【解析】

（1）根據勾股定理求得AC=20，根據運動的速度和時間求得CP=10，BP=5，即可得到△ABP的面積；

（2）過點P作PD⊥AB于點D，判定Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），得到BD=BC=15，AD=10，再設PC=x，則PD=x，AP=20﹣x．在Rt△APD中，根據勾股定理得到PD2+AD2=AP2，即x2+102=（20﹣x）2，解方程即可得到結論；

（3）分三種情況討論：①作CB的垂直平分線交AB于P，連接CP，則CP=BP；②以B為圓心，CB為半徑作弧交AB于點P，則CB=PB=15；③以C為圓心，CB為半徑作弧交AB于P1，交AC于點P2，過C作CD⊥AB于D，則CP1=CB，CP2=CB=15，分別求解即可．

（1）如圖1．

∵∠C=90°，AB=25，BC=15，∴AC==20．

∵CP=5×2=10，BP=BC－PC=15-10=5，∴△ABP的面積=×PB×AC=×5×20=50（cm2）．

（2）如圖（3），過點P作PD⊥AB于點D．

∵BP平分∠ABC，∴PD=PC．在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=15，∴AD=25﹣15=10，設PC=x，則PD=x，AP=20﹣x．在Rt△APD中，PD2+AD2=AP2，即x2+102=（20﹣x）2，解得：x=7.5，∴t=（CB+BA+AC-PC）÷5=（15+25+20-7.5）÷5=10.5．

故t=10.5秒時，BP平分∠ABC．

（3）分三種情況討論：①如圖（4），作CB的垂直平分線交AB于P，連接CP，則CP=BP．

∵AC⊥BC，PD⊥BC，∴AC∥PD．

∵CD=DB，∴AP=PB=AB=12.5，∴t=(CB+BP)÷5=（15+12.5）÷5=5.5；

②如圖（5），以B為圓心，CB為半徑作弧交AB于點P，則CB=PB=15，∴t=(CB+BP)÷5=（15+15）÷5=6；

③如圖（6），以C為圓心，CB為半徑作弧交AB于P1，交AC于點P2，過C作CD⊥AB于D，則CP1=CB，CP2=CB，CD===12．

∵CP1=CB，CD⊥AB，∴BD=DP1==9，∴BP1=2BD=18，∴t=(15+18)÷5=6.6；

∵CP2=CB=15，∴t=(CB+BA+AC-CP2)÷5=（15+25+20-15）÷5=9．

綜上所述：當△BCP為等腰三角形時，t的值為：5.5，6，6.6，9．