Question

將正方形ABCD繞中心O順時針旋轉角α得到正方形A₁B₁C₁D₁，如圖1所示．
（1）當α=45°時（如圖2），若線段OA與邊A₁D₁的交點為E，線段OA₁與AB的交點為F，可得下列結論成立 ①△EOP≌△FOP；②PA=PA₁，試選擇一個證明．
（2）當0°＜α＜90°時，第（1）小題中的結論PA=PA₁還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）在旋轉過程中，記正方形A₁B₁C₁D₁與AB邊相交于P，Q兩點，探究∠POQ的度數是否發生變化？如果變化，請描述它與α之間的關系；如果不變，請直接寫出∠POQ的度數．

Answer 1

（1）若證明①△EOP≌△FOP
當α=45°時，即∠AOA₁=45°，又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°，同理∠PEO=90°
∴
在Rt△EOP和Rt△FOP中，有
∴△EOP≌△FOP
若證明②PA=PA₁
法一證明：連接AA₁，則∵O是兩個正方形的中心，∴OA=OA₁∠PA₁O=∠PAO=45°
∴∠AA₁O=∠A₁AO
∴∠AA₁O-∠PA₁O=∠A₁AO-∠PAO
即∠AA₁P=∠A₁AP∴PA=PA₁
法二：證明，同①先證明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A₁PF∴∠APE+∠EPO=∠A₁PF+∠FPO即∠APO=∠A₁PO
在△APO和△A₁PO中有
∴△APO≌△A₁PO
∴PA=PA₁
（2）成立
證明如下：法一證明：連接AA₁，則∵O是兩個正方形的中心，∴OA=OA₁∠PA₁O=∠PAO=45°
∴∠AA₁O=∠A₁AO
∴∠AA₁O-∠PA₁O=∠A₁AO-∠PAO
即∠AA₁P=∠A₁AP∴PA=PA₁
法二
如圖，作OE⊥A₁D₁，OF⊥AB，垂足分別為E，F
則OE=OF，∠PFO=90°，∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中，有
∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A₁PF∴∠APE+∠EPO=∠A₁PF+∠FPO即∠APO=∠A₁PO
在△APO和△A₁PO中有

∴△APO≌△A₁PO
∴PA=PA₁
（3）不變化，在旋轉過程中，∠POQ的度數不發生變化，∠POQ=45°．
分析：（1）①根據旋轉的性質可得：∠AOA₁=45°，即可證明∠PFO=90°，則OE=OF，即可根據HL公理證明兩三角形全等；
②先證明△EOP≌△FOP，再證明∴△APO≌△A₁PO，即可證得；
（2）作OE⊥A₁D₁，OF⊥AB，垂足分別為E，F，首先△EOP≌△FOP證得∠APO=∠A₁PO，即可證明△APO≌△A₁PO，從而結論得證；
（3）根據（1）（2）的解題過程中∠PAO=45°=∠POQ，得出∠POQ的大小不變，即可確定．
點評：本題主要考查了旋轉的性質，三角形全等的證明，證明線段相等的問題常用的方法就是轉化為證明三角形全等．