Question

【題目】如圖，矩形OABC在直角坐標系中，延長AB至點E使得BE=BC連接CE，過A作AD//CE交CB延長線于點D，直線DE分別交x軸、y軸于F、G點，若EG：DF=1：4，且△BCE與△BAD面積之和為，則過點的雙曲線中的值為____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

如圖，過點E作EN⊥y軸于N，過點D作DM⊥x軸于M，設B（x、y），由矩形的性質及BE=BC可得△BCE是等腰直角三角形，可得∠BCE=45°，根據平行線的性質可得∠ADC=∠BCE=45°，可得△ABD是等腰直角三角形，可得BD=AB=y，根據平行線的性質可得∠NEG=∠BDE=∠MFD，可證明△NEG∽△MFD，△BDE∽△MFD，根據相似三角形的性質可得y2=4x2，根據△BCE與△BAD面積之和為可得x2+y2=，進而求出xy的值即可得答案．

如圖，過點E作EN⊥y軸于N，過點D作DM⊥x軸于M，設B（x、y），

∴BC=x，AB=y，

∵BE=BC，四邊形OABC是矩形，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴∠BCE=45°，

∵AD//CE，

∴∠ADC=∠BCE=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴BD=AB=y，

∵EN⊥y軸，DM⊥x軸，

∴四邊形GCBE、BAMD都是正方形，

∴EG=BC=x，DM=AB=y，

∵∠GNE=∠DCG=∠FOG=90°，

∴EG//CD//OF，

∴∠NEG=∠BDE=∠MFD，

∴△NEG∽△MFD，△BDE∽△MFD，

∴，，

∵，

∴，，

∴y2=4x2，

∵△BCE與△BAD面積之和為，

∴x2+y2=，即x2+y2=，

∴x2+4x2=，

解得：x2=，

∴y2=4x2=6，

∴(xy)2=9，

∵點B在雙曲線圖象上，且圖象在第一象限，

∴k=xy=3，

故答案為：3