Question

已知：如圖,直線與x軸相交于點A,與直線相交于點P.動點E從原點O出發,以每秒1個單位長度的速度沿著OPA的路線向點A勻速運動（E不與點O,A重合）,過點E分別作EF⊥x軸于F,EB⊥y軸于B.設運動t秒時,矩形EBOF與△OPA重疊部分面積為S.

（1）求點P的坐標;
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由;
（3）請探究S與t之間的函數關系式,并指出t的取值范圍.

Answer 1

（1）;
（2）等邊三角形;理由見解析;
（3）．

試題分析：（1）由兩直線相交可列出方程組,求出P點坐標;
（2）將y=0代入,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=,利用tan∠POA=,可知∠POA=60°,由OP=4．可知△POA是等邊三角形;
（3）①當0＜t≤4時,在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,則EF=,OF=,則S=•OF•EF=;
②當4＜t＜8時,設EB與OP相交于點C,易知：CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得AF=4﹣,EF=（8﹣t）,有OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=,S=（CE+OF）•EF=﹣+4t﹣8．
試題解析：（1）由題意可得：,
解得,
所以點P的坐標為（2,）;
（2）將y=0代入y=﹣x+4,得到：﹣x+4=0,
∴x=4,即OA=4,
作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=2,
∵tan∠POA==,
∴∠POA=60°,
∵OP=,
∴△POA是等邊三角形;
（3）①當0＜t≤4時,如圖,在Rt△EOF中,

∵∠EOF=60°,OE=t,
∴EF=,OF=,
∴S=•OF•EF=．
②當4＜t＜8時,如圖,設EB與OP相交于點C,

∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,
∴AF=4﹣,EF=（8﹣t）,
∴OF=OA﹣AF=4﹣（4﹣）=,
∴S=（CE+OF）•EF=（t﹣4+t）×（8﹣t）= ．