Question

如圖1，點A在x軸上，點D在y軸上，以OA、AD為邊分別作等邊△OAC和等邊△ADE，若D（0，4），A（2，0）.

（1）若∠DAC=10°，求CE的長和∠AEC的度數.
（2）如圖2，若點P為x軸正半軸上一動點，點P在點A的右邊，連PC，以PC為邊在第一象限作等邊△PCM，延長MA交y軸于N，當點P運動時.

①∠ANO的值是否發生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由.
②AM-AP的值是否發生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由.

Answer 1

試題分析：（1）解答本題的關鍵是證明△DOA≌△ECA，由題意可由OA=CA、∠OAD=∠CAE、DA=EA判定△DOA≌△ECA，由此所求CE=DO，所求∠AEC=∠ADO.由∠DAC=10°、等邊△COA可得∠OAD=50°,所以∠ADO=40°,所以∠AEC=40°.由點D的坐標為（0,4）可知：OD=4，所以CE=4.
①確定∠ANO的值是否發生變化，可想：在Rt△ONC中，∠OAN的度數是否發生變化.因為∠OAC=60°，
那么只要求出∠MAP或∠CAM的度數，此題就很容易求解了.可通過證明△OCP≌△ACM得出結論.
②在①中已得出△OCP≌△ACM，所以AM=OP，所以AM-AP=OP-AP=OA，可以看出無論點P如何運動，AM-AP的值始終等于OA.
試題解析：
解：（1）∵△OAC和△ADE是等邊三角形
∴∠OAC=∠DAE=60°
∵∠DAC=10°
∴∠CAE=∠OAD=60^○-∠CAD=50°
∵在△CAE 和△OAD中
AC=AO
∠CAE=∠OAD
AE=AD
∴△CAE ≌△DOA
∴CE=OD ∠AEC=∠ADO
∵點D的坐標是（0,4）
∴CE=OD=4
∴∠AEC=∠ADO=90°-50°=40°
（2）①.∠ANO=30°，理由如下：
∵∠OCA=∠MCP=60°
∴∠OCP=∠ACM,
∵在△OCP≌△ACM中
OC=CA
∠OCP=∠ACM,
CP=CM
∴△OCP≌△ACM
∴∠COA=∠CAM=60°
∴∠MAP=180°-120°=60°
∴∠OAN=∠MAP =60°
∴∠ANO=90^O-60^O=30^O
②AM-AP=2，理由如下：
∵△OCP≌△ACM
∴AM=OP
∴AM-OP=OP-AP=OA
點A的坐標是（2,0）
∴OA=2
∴AM-AP=2