Question

【題目】已知：如圖，∠ACB=∠ADB=90°，E為AB中點，連接DE、CE、CD．

（1）求證：DE=CE；

（2）若∠CAB=25°，∠DBA=35°，判斷△DEC的形狀，并說明理由；

（3）當∠CAB+∠DBA=45°時，若CD=12，取CD中點F，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DEC是等邊三角形，理由見解析；（3）6

【解析】

（1）由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論；

（2）根據直角三角形的性質得到DE=AE=BE=CE，根據等腰三角形的性質得到∠CAB=∠ACE=25°，∠DBA=∠BDE=35°，根據三角形的外角的性質得到∠BED=50°，∠ADE=70°，由等邊三角形的判定定理即可得到結論；

（3）同（2）證出∠DEC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論．

（1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中點，

∴DE=AB，CE=AB，

∴DE=CE；

（2）△DEC是等邊三角形，

理由：∵∠ACB=∠ADB=90°，E為AB中點，

∴DE=AE=BE=CE，

∴∠CAB=∠ACE=25°，

∠DBA=∠BDE=35°，

∴∠BED=50°，∠AED=70°，

∴∠DEC=180°-50°-70°=60°，

∴△DEC是等邊三角形；

（3）∵∠ACB=∠ADB=90°，E為AB中點，

∴DE=AE=BE=CE，

∴∠CAB=∠ACE，∠DBA=∠BDE，

∴∠BED=2∠CAB，∠AED=2∠ABD，

∴∠DEC=180°-2（∠CAB+∠DBA）=90°，

∴△DEC是等腰直角三角形，

∵點F是斜邊CD上的中點，

∴EF=CD=6．