Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，DC∥AB ，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB、CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=2時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6.

【解析】試題分析：(1)根據已知條件易證△OBE≌△ODF，根據全等三角形的性質即可得結論；（2）根據已知條件易證∠G=∠A=45°，由等腰三角形的性質可得AE=GE，再證得DG=DO，即可得OF=FG= 2，再由（1）可知OE= OF=2，所以GE=OE+OF+FG=6，即AE= GE=6.

試題解析：

（1）證明：∵ DC∥AB， ∴∠OBE =∠ODF．

在△OBE與△ODF中，

∵

∴△OBE≌△ODF（AAS）．

∴BO=DO．

（2）∵EF⊥AB，DC∥AB，

∴∠GEA=∠GFD=90°．

∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE，

∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠GDO=90°．

∴∠GOD=∠G=45°．

∴DG=DO，

∴OF=FG= 2，

由（1）可知，OE= OF=2，

∴GE=OE+OF+FG=6

∴AE= GE=6.