Question

【題目】拋物線與直線交于、兩點，拋物線的頂點記為．其對稱軸與軸的交點記為；

（1）如圖1，在線段上有兩個動點、，且，作軸，分別交拋物線于點、，過點作另一條直線，當取得最大值時，有一動點從出發沿某條路徑以1個單位每秒的速度先運動到直線上的點處，再沿垂直于的方向以1個單位每秒的速度從點運動到上點處，最后以個單位每秒的速度從點回到點，運動停止，請求出滿足條件的點坐標及動點運動總時間的最小值；

（2）如圖2，連接，將沿射線平移得，當恰好落在∠BDO的角平分線上時，在軸上取一點，再將沿翻折得，連接、，當為等腰三角形時，求出的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）B′′或B′′.

【解析】

（1）根據題意設，則，，，判定當時，最大，然后利用對稱性即可得解；

（1）設，則，，

當時，最大

作點關于直線的對稱點，把沿的方向平移個單位得，過點作直線的垂線，垂足為點，交直線于點，過點作直線的垂線，垂足為點，連接．

四邊形是平行四邊形

，

最小最小

，過點作軸的垂線，交于點

，

，

最小

（2）過O作OZ⊥BD于Z，過O′作O′L⊥BD于L，作O′K⊥x軸與K，連接B′B′′，DB′′，如圖所示：

∵

∴D，B（0，-2）

∵∠BOD=∠OZD=90°

∴OZ=，由平移得O′L=OZ=

∵O′恰好落在∠BDO的角平分線上

∴O′K=O′L=

∴△BOD向下平移個單位得到△B′O′D′，由平移性質可知△BOD同時向左平移個單位

∴O′，B′

∵將沿翻折得，為等腰三角形，可以分以下幾種情況：

①DB′′=DB′，即R與D重合

∴當O′恰好落在∠BDO的角平分線上時，B′′落在x軸上

∵

∴此時DB′′=4，OB′′=4-=

∴B′′；

②B′B′′=DB′=4時，

∵O′B′′=O′B′=OB=2，

∴B′B′′≤4，僅當B′、O′、B′′三點共線時B′B′′=4成立，此時O′R⊥O′B′，即x軸上不存在符合題意的點R，故B′B′′=DB′不成立；

③B′B′′=DB′′，即點B′′在線段B′D的垂直平分線上，

∵B′，D

∴B′D的中點坐標為，直線B′D的解析式為

∴B′D的垂直平分線的解析式為，設B′′

∵O′B′′=O′B′，B′，O′

∴

解得

∴B′′；

綜上所述，B′′的坐標為B′′或B′′.