Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N．動點P從點B出發沿射線BA以每秒厘米的速度運動．同時，動點Q從點N出發沿射線NC運動，且始終保持MQ丄MP．設運動時間為t秒（t＞0）．
（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說明理由：
（2）若∠ABC=60°，AB=4厘米．
①求動點Q的運動速度；
②設△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數關系式．

Answer 1

（1）相似     （2）①每秒鐘1cm    ②S=

試題分析：（1）相似．
證明：∵MN⊥BC交AC于點N，MQ丄MP，
∴∠BMN=∠PMQ=90°，
即∠BMP+∠PMN=∠PMN+∠NMQ，
∴∠PMB=∠NMQ，
∵△ABC與△MNC中，∠C=∠C，∠A=∠NMC=90°，
∴△ABC∽△MNC，
∴∠B=∠MNC，
∴△PBM∽△QNM；

（2）①在直角△ABC中，∠ABC=60°，AB=4厘米，
則BC=8cm，AC=12cm．
由M為BC中點，得BM=CM=4，
若BP=cm．
∵在Rt△CMN中，∠CMN=90°，∠MCN=30°，
∴NC==8cm，
∵△PBM∽△QNM，
∴=，
即NQ=1，
則求動點Q的運動速度是每秒鐘1cm．
②AP=AB﹣BP=4﹣t，
AQ=AN+NQ=AC﹣NC+NQ=12﹣8+t=4+t，
則當0＜t＜4時，△APQ的面積為：S=AP•AQ=（4﹣t）（4+t）=，
當t＞4時，AP=t﹣4=（t﹣4）．
則△APQ的面積為：S=AP•AQ=（t﹣4）（4+t）=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，以及相似三角形與函數的綜合應用，利用時間t正確表示出題目中線段的長度是解題的關鍵．