Question

（2008•梅州）如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直線為x軸，過D且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求∠DAB的度數及A、D、C三點的坐標；
（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其對稱軸L；
（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使△PDB為等腰三角形的點P有幾個？（不必求點P的坐標，只需說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AD=DC=CB，根據等邊對等角，以及平行線的性質．可以得到，∠CDB=∠CBD=∠DBA．若設，∠CDB=∠CBD=∠DBA=x度，則∠ABC=2x度，∠C=90+x度．根據平行線的性質同旁內角互補，就可以求出x的值．在直角△ABD和直角△AOD中，根據三角函數，就可以求出OA、OD的長度，就可以得到A，D，C的坐標．
（2）已知A，D，C的坐標，根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式以及對稱軸．
（3）△PDB為等腰三角形，應分BD是底邊，和BD是腰兩種情況進行討論．而BD是腰又要分D是頂角的頂點和B是頂角的頂點兩種情況進行討論．
解答：解：（1）∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA （5分）
∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，（1分
∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠DAB=60°（5分）
∠DBA=30°，
∵AB=4，
∴DC=AD=2，（2分）
Rt△AOD，OA=1，OD=，AD=2．（5分）
∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．（4分）

（2）根據拋物線和等腰梯形的對稱性知，滿足條件的拋物線必過點A（-1，0），B（3，0），
故可設所求為y=a（x+1）（x-3）（6分）
將點D（0，）的坐標代入上式得，a=．
所求拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3），（7分）
其對稱軸L為直線x=1．（8分）

（3）△PDB為等腰三角形，有以下三種情況：
①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點P₁，P₁D=P₁B，
△P₁DB為等腰三角形；（9分）
②因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃，△P₂DB，△P₃DB為等腰三角形；
③與②同理，L上也有兩個點P₄、P₅，使得BD=BP₄，BD=BP₅．（10分）
由于以上各點互不重合，所以在直線L上，使△PDB為等腰三角形的點P有5個．
點評：本題主要考查了梯形的有關計算，以及待定系數法求函數的解析式，正確地進行討論是解決本題的關鍵．