Question

（1）探索歸納．用等號或不等號填空：
①5+6

＞

2

5×6

②12+13

＞

2

12×13

③5+0

＞

2

5×0

④7+7

=

2

7×7

…
用非負數a、b表示你發現的規律并予以證明．
（2）結論應用．已知點A（-3，0），B（0，-4），P是雙曲線y=

12

x

(x＞0)上任意一點，過點P作PC⊥x軸于C，過點p作PD⊥y軸于D，連接AB、BC、CD、DA．
求四邊形ABCD的面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）分別計算出各數，比較出其大小即可；
（2）根據對角線互相垂直的四邊形的面積的求法以及設出的點P的坐標來得到相應結論．

解答：解：（1）①∵5+6=11，2

5×6

=

120

，120＜121，
∴11＞2

5×6

；
②∵12+13=25，2

12×13

=

624

＜

625

=25，
∴12+13＞2

12×13

；
③∵5+0=5，2

5×0

=0，
∴5+0＞2

5×0

；
④∵7+7=14，2

7×7

=14，
∴7+7=2

7×7

．
綜上所述，若a、b為非負數，則a+b≥2

ab

．
證明：∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，
∴a+b≥2

ab

，只有點a=b時，等號成立．
故答案為：＞；＞；＞；=；

（2）∵設P（x，

12

x

），則C（x，0），D（0，

12

x

），CA=x+3，DB=+4，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+3）×（

12

x

+4），
化簡得：S=2（x+

9

x

）+12，
∵x＞0，

9

x

＞0，
∴x+

9

x

≥2

x× 9 x

=6，
只有當x=

9

x

，即x=3時，等號成立．
∴S≥2×6+12=24，
∴S_{四邊形ABCD}有最小值24，
此時，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，在解答（2）時要注意應用特殊四邊形的面積的求法．