Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE⊥BC于E．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，求線段DE長度的最大值；

（3）如圖2，設AB的中點為F，連接CD，CF，是否存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+x+3；(2) 當a=2時，DE取最大值，最大值是；（3）存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，點D的橫坐標為或．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得DM，根據相似三角形的判定與性質，可得DE的長，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據正切函數，可得∠CFO，根據相似三角形的性質，可得GH，BH，根據待定系數法，可得CG的解析式，根據解方程組，可得答案．

（1）由題意，得，

解得，

拋物線的函數表達式為y=-x2+x+3；

（2）設直線BC的解析是為y=kx+b，

，

解得，

∴y=-x+3，

設D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），過點D作DM⊥x軸交BC于M點，如圖1

，

M（a，-a+3），

DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，

∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，

∴△DEM∽△BOC，

∴，

∵OB=4，OC=3，

∴BC=5，

∴DE=DM

∴DE=-a2+a=-（a-2）2+，

當a=2時，DE取最大值，最大值是，

（3）假設存在這樣的點D，△CDE使得中有一個角與∠CFO相等，

∵點F為AB的中點，

∴OF=，tan∠CFO==2，

過點B作BG⊥BC，交CD的延長線于G點，過點G作GH⊥x軸，垂足為H，如圖2

，

①若∠DCE=∠CFO，

∴tan∠DCE==2，

∴BG=10，

∵△GBH∽BCO，

∴

∴GH=8，BH=6，

∴G（10，8），

設直線CG的解析式為y=kx+b，

∴，

解得，

∴直線CG的解析式為y=x+3，

∴，

解得x=，或x=0（舍）．

②若∠CDE=∠CFO，

同理可得BG=，GH=2，BH=，

∴G（，2），

同理可得，直線CG的解析是為y=-x+3，

∴，

解得x=或x=0（舍），

綜上所述，存在點D，使得△CDE中有一個角與∠CFO相等，點D的橫坐標為或．