Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC，AB分別交與點D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論．
（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，DE，求出∠ADE=90°=∠C推出DE∥BC∴∠EDB=∠CBD=∠A，根據∠A+∠OED=90°求出∠EDB+∠ODE=90°，根據切線的判定推出即可；   
（2）求出AD：AE：DE=6：10：8，求出△ADE∽△BCD，推出AD：AE：DE=BC：BD：CD=6：10：8，代入求出即可．
解答：（1）直線BD與⊙O的位置關系是相切，
證明：連接OD，DE，
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵∠A=∠CBD，
∴∠A+∠CDB=90°，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-90°=90°，
∴OD⊥BD，
∵OD為半徑，
∴BD是⊙O切線；

（2）解：∵AD：AO=6：5，
∴AD：AE=6：10，
∴AD：AE：DE=6：10：8，
∵AE是直徑，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CBD=∠A，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE：DE=BC：BD：CD=6：10：8，
即BC：BD=6：10，
∵BC=3，
∴BD=5．
點評：本題考查了切線的判定，平行線性質和判定，等腰三角形性質和判定，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．