Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O₁的坐標為（-4，0），以點O₁為圓心，8為半徑的圓與x軸交于A，B兩點，過A作直線l與x軸負方向相交成60°的角，且交y軸于C點，以點O₂（13，5）為圓心的圓與x軸相切于點D．
（1）求直線l的解析式；
（2）將⊙O₂以每秒1個單位的速度沿x軸向左平移，當⊙O₂第一次與⊙O₁外切時，求⊙O₂平移的時間．

Answer 1

（1）由題意得OA=|-4|+|8|=12，
∴A點坐標為（-12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12

3

．
∴C點的坐標為（0，-12

3

）．
設直線l的解析式為y=kx+b，
由l過A、C兩點，
得

-12 3 =b 0=-12k+b

，解得

b=-12 3 k=- 3

∴直線l的解析式為：y=-

3

x-12

3

．

（2）如圖，設⊙O₂平移t秒后到⊙O₃處與⊙O₁第一次外切于點P，⊙O₃與x軸相切于D₁點，連接O₁O₃，O₃D₁．
則O₁O₃=O₁P+PO₃=8+5=13．
∵O₃D₁⊥x軸，∴O₃D₁=5，
在Rt△O₁O₃D₁中，O1D1=

O1 O 23 -O3 D 21

=

132-52

=12．
∵O₁D=O₁O+OD=4+13=17，∴D₁D=O₁D-O₁D₁=17-12=5，
∴t=

5

1

=5（秒）．
∴⊙O₂平移的時間為5秒．