Question

如圖，將邊長為3cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD的中點 M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連接EP．

(1) △AEM的周長=_____cm；（2）求證：EP=AE+DP；

Answer 1

(1) （2）見解析

（1）設AE=xcm，則EB=ME=（3-x）cm．
又因為E為DC的中點，
所以AM=1.5cm，
在Rt△DME中，AE²+AM²=ME²，
即x²+1.5²=（3-x）²，
解得x=．
所以線段DM的長為cm
△AEM的周長=+1.5+=   
（2）證明：
分別延長EM和PD交于點H.
∵正方形ABCD ∴AB∥CD,∴∠AEM=∠H
又∵∠AME=∠DMH，AM="DM" ∴△AME≌△DMH
∴EM=HM，AE="DH." ……………………………… 5分
在△EHP中，由折疊過程知，∠EMP=∠B=90°，∴MP⊥EH
∴PH="EP" 又∵EM=HM，∴PE="PH" …………………………… 7分
∵PH=DP+DH,  AE=DH. ∴PH="AE+DP"
∴EP=AE+DP.       ……………………………………8分
（其他解法參照給分）
（1）設AE=xcm,根據勾股定理求得x，即可求出△AEM的周長
（2）通過△AME≌△DMH，求得EM=HM，AE=DH，由折疊過程，求得PE=PH，從而求得結論