Question

已知拋物線y=-x²+（k+1）+3，當x＜1時，y隨著x的增大而增大，當x＞1時，y隨著x的增大而減小．
（1）求k的值及拋物線的解析式；
（2）設拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），拋物線的頂點為P，試求出A、B、P三點的坐標，并在下面的直角坐標系中畫出這條拋物線；
（3）求經過P、A、B三點的圓的圓心O′的坐標；
（4）設點G（0，m）是y軸的一個動點．
①當點G運動到何處時，直線BG是⊙O′的切線并求出此時直線BG的解析式；
②若直線BG與⊙O‘相交，且另一交點為D，當m滿足什么條件時，點D在x軸的下方．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知拋物線的對稱軸為x=1，根據對稱軸的公式即可求出k的值，也就能求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式即可求出A、B、P的坐標．
（3）由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，因此圓心O′必在AB的垂直平分線即拋物線的對稱軸上，因此可作出拋物線的對稱軸設對稱軸與x軸和圓O′的交點分別為M、N．根據相交弦定理即可求出MN的長，進而可求出圓的半徑和圓心O′的坐標．
（4）①可先過B作圓O′的切線，交y軸于G，要求出直線BG的解析式，就必須求出G點的坐標，首先要求出OG的長，可設直線BO′交y軸于E，根據B，O′兩點的坐標可求出直線BO′的解析式進而可求出E點的坐標，即OE的長，在直角三角形EBG中，根據射影定理即可求出OG的長，得出G點坐標后，可用待定系數法求出直線BG的解析式．
②根據①中G點的坐標即可得出本題的結論．

解答：解：（1）由題意可知：

k+1

2

=1，k=1．
因此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3

（2）A（-1，0），B（3，0），P（1，4）

（3）根據圓和拋物線的對稱性可知：
圓心O′在AB的垂直平分線即拋物線的對稱軸上，
設拋物線的對稱軸交x軸于M，交⊙O′于N，則有：PM•MN=MA•MB，
∴4•MN=2×2，即MN=1，
因此PN=5，圓O′的半徑為2.5．
因此O′在x軸的上方，坐標為（1，

3

2

）．

（4）①過B作⊙O′的切線交y軸于G，
設直線BO′交y軸于E，
可求得直線BO′的解析式為y=-

3

4

x+

9

4

．
因此E點的坐標為（0，

9

4

）．
∵BG是⊙O′的切線，因此BO′⊥BG，
∴BO²=EO•OG，即9=

9

4

•OG，
因此OG=4，即G點的坐標為（0，-4）
設直線BG的解析式為y=kx-4．由于直線過B點（3，0），
可得：3k-4=0，k=

4

3

．
因此直線BG的解析式為y=

4

3

x-4
②-4＜m＜0．

點評：本題著重考查了二次函數的性質、圓的性質、相交弦定理、切線的判定、直線與圓的位置關系等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．