Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE始終經過點A，EF與AC交于M點．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；

（3）當線段AM最短時，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）能；BE=1或；（3）

【解析】

（1）由AB=AC得∠B=∠C，由△ABC≌△DEF得∠AEF=∠B，即得△ABE∽△ECM；

（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，得∠AME＞∠AEF，則AE≠AM；當AE=EM時，則△ABE≌△ECM，根據對應邊相等即可求得BE的長；當AM=EM時，則∠MAE=∠MEA，即可證得△CAE∽△CBA，根據對應邊成比例即可求得BE的長；

（3）設BE=x，由△ABE∽△ECM，根據對應邊成比例即可表示出CM的長，從而可以表示出AM的長，根據二次函數的性質即可求得結果。