Question

幾何模型：
條件：如圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．
問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．
方法：作點A關于直線l的對稱點A^′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．
模型應用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

5

；
（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；
（3）如圖3，AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點E，CD⊥MN于點F，P為EF上的任意一點，求PA+PC的最小值．

Answer 1

分析：（1）由所給的例子可知，PB+PE的最小值是DE的長，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得出DE的長；
（2）作A關于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，求出A′C的長即可．
（3）A、B兩點關于MN對稱，因而PA+PC=PB+PC，即當B、C、P在一條直線上時，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．

解答：解：（1）由所給的例子可知，PB+PE的最小值是DE的長，
∵正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，
∴AE=1，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

22+12

=

5

，
則PB+PE的最小值是：

5

；

（2）如圖2所示：作A關于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

3

∴A′C=2

3

；
故PA+PC的最小值為2

3

；

（3）如圖3，連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根據垂徑定理，得到BE=

1

2

AB=4，CF=

1

2

CD=3，
∴OE=

OB2-BE2

=

52-42

=3，
OF=

OC2-CF2

=

52-32

=4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根據勾股定理得到BC=7

2

，
則PA+PC的最小值為7

2

．
故答案為：

5

．

點評：本題考查的是軸對稱--最短路線的問題，涉及到正方形、圓、等腰直角三角形的有關知識，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．