Question

（2002•常州）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，邊AD，BC的延長線相交于點P，直線AE切⊙O于點A，且AB•CD=AD•PC，
求證：（1）△ABD∽△CPD；（2）AE∥BP．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知AB•CD=AD•PC，即，所以要證△ABD∽△CPD，只需證得兩組對應邊的夾角相等即可，而這組角可通過圓內接四邊形的性質求得；
（2）在（1）的基礎上，可求得∠ABD=∠P；根據弦切角定理可求得∠EAD=∠ABD，即∠EAD=∠P；內錯角相等，可證得兩直線平行．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴．
∴△ABD∽△CPD．

（2）由（1）得∠ABD=∠P．
又AE為切線，AD為弦，
∴∠EAD=∠ABP，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
點評：本題主要考查了圓內接四邊形的性質、切線的性質、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用．