Question

已知：如圖，⊙O與⊙A相交于C，D兩點，A，O分別是兩圓的圓心，△ABC內接于⊙O，弦CD交AB于點G，交⊙O的直徑AE于點△CDE，連接BD。

（1）求證：△ACG∽△DBG；
（2）求證：AC²=AG·AB；
（3）若⊙A，⊙O的直徑分別為，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的長。

Answer 1

解：（1）在和中，
∵
∴。

（2）連結AD，則
在和中
∵
∴
又∵
∴
∴
即。
（3）連結CE，則
∵與相交于C，D兩點
∴圓心O，A在弦CD的垂直平分線上，即AO垂直平分弦CD
∴
∵的直徑分別為，15
∴
在和中，∵
∴
∴
即
在中，由勾股定理，得
即
解得（舍去負值）
∵
∴
在中，由勾股定理，得

∴（舍去負值）
由（2），有
即
解得
由（1），有，得
∴。