Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0＜t＜6），過點D作DF⊥BC于點F．
（1）如圖①，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；
（2）連接DE，當t為何值時，△DEF為直角三角形？
（3）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當t為何值時，四邊形 AEA′D為菱形？

Answer 1

分析：（1）由“在直角三角形中，30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得DF=t，又AE=t，則DF=AE；而由垂直得到AB∥DF，即“四邊形AEFD的對邊平行且相等”，由此得四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖①′，當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，此時 AE=

1

2

AD，根據題意，列出關于t的方程，通過解方程來求t的值；
③如圖①″，當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°-∠A=30°，此時AD=

1

2

AE，根據題意，列出關于t的方程，通過解方程來求t的值；
（3）如圖②，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，則t=12-2t，所以t=4．即當t=4時，四邊形AEA′D為菱形．

解答：解：（1）如圖①∵DF⊥BC，∠C=30°，
∴DF=

1

2

CD=

1

2

×2t=t．
∵AE=t，
∴DF=AE．
∵∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴DF∥AE
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）①顯然∠DFE＜90°；
②如圖①′，當∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形，
此時 AE=

1

2

AD，
∴t=

1

2

(12-2t)，
∴t=3；
③如圖①″，當∠DEF=90°時，此時∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=

1

2

AE，
∴12-2t=

1

2

t，
∴t=

24

5

；
綜上：當t=3秒或t=

24

5

秒時，△DEF為直角三角形；

（3）如圖②，若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD，
∴t=12-2t，
∴t=4．
∴當t=4時，四邊形AEA′D為菱形．

點評：本題考查了四邊形綜合題．解題時，需要綜合運用矩形的性質，直角三角形的性質，菱形的性質以及平行四邊形的判定與性質．另外，解題時，需要分類討論．