Question

猜想歸納：如圖，已知正方形ABCD的邊長為kπ+2（k是正整數），半徑為1的⊙O分別與AD，AB相切．沿AB→BC→CD→DA的方向使⊙O在正方形ABCD的邊上滾動．當⊙O第一次回到起始位置時停止運動．
（1）當k=1時，⊙O從開始滾動到停止，共滾動了______圈；當k=2時，⊙O從開始滾動到停止，共滾動了______；當k=n時，⊙O從開始滾動到停止，共滾動了______．
（2）當k=n時，⊙O從開始滾動到停止，滾過的面積是多少？

Answer 1

解：（1）∵圓O的半徑為1，k=1時正方形的邊長為π+2，
∴當圓O從開始到與BC邊相切時，圓心O走過的路程為π+2-2=π；
當圓O從與AB邊相切到與DC邊相切時，圓心O走過的路程為2π；
當圓O與BC相切到與AD邊相切時，圓心O走過的路程為π；
當圓O從與DC邊相切到與AB邊相切時，圓心O走過的路程為2π，
∴圓心O走過的總路程為6π，又圓的周長為2π，
∴當k=1時，⊙O從開始滾動到停止，共滾動了3圈；
∵圓O的半徑為1，k=2時正方形的邊長為2π+2，
∴當圓O從開始到與BC邊相切時，圓心O走過的路程為2π；
當圓O從與AB邊相切到與DC邊相切時，圓心O走過的路程為3π；
當圓O與BC相切到與AD邊相切時，圓心O走過的路程為2π；
當圓O從與DC邊相切到與AB邊相切時，圓心O走過的路程為3π，
∴圓心O走過的總路程為10π，
又圓的周長為2π，
∴當k=2時，⊙O從開始滾動到停止，共滾動5圈；
同理：當k=n時，⊙O從開始滾動到停止，共滾動（2n+1）圈．
故答案為：3，5，2n+1；


（2）如圖，連接OE，OF，
∵S_{四邊形ABCD}-S_{四邊形A'B'C'D′}=（nπ+2）²-（nπ-2）²
=[（nπ+2）+（nπ-2）][（nπ+2）-（nπ-2）]
=2nπ×4
=8nπ，
且S_圖形EFB=S_{正方形OEBF}-S_扇形OEF=1²-=1-，
則⊙O滾過的面積S=S_{四邊形ABCD}-S_{四邊形A'B'C'D′}-4S_圖形EFB=8nπ-4（1-）=8nπ+π-4．
分析：（1）當k=1時，得出正方形的邊長為π+2，然后當圓O在邊AB上運動時，圓心O運動的路程為正方形的邊長減去圓的直徑；當圓O在BC邊上運動時，圓心O運動的路程為2π；當圓O在CD邊上運動時，同理圓心O的路程為π；當圓O在AD邊邊上運動時，圓心O運動的路程為2π，計算出總路程，除以圓的周長可得出圓轉動的圈數；當k=2時，得出正方形的邊長為2π+2，然后當圓O在邊AB上運動時，圓心O運動的路程為正方形的邊長減去圓的直徑，即為2π；當圓O在BC邊上運動時，圓心O運動的路程為3π；當圓O在CD邊上運動時，同理圓心O的路程為2π；當圓O在AD邊邊上運動時，圓心O運動的路程為3π，計算出總路程，除以圓的周長可得出圓轉動的圈數；同理當n=k時，歸納得到圓運動的圈數為2n+1；
（2）如圖，連接OE，OF，可得出四邊形OEBF為邊長為1的正方形，用正方形的面積減去扇形OEF的面積，可得出不規則圖形BEF的面積，然后由大正方形ABCD的面積-小正方形A′B′C′D′的面積-4圖形BEF的面積，可得出圓O滾過的面積．
點評：此題考查了切線的性質，正方形的性質，扇形面積公式，鍛煉了學生歸納總結，靈活轉化的能力，是一道綜合性較強的試題，要求學生掌握知識要全面．其中不規則圖形面積可以用規則圖形相加減來求，也可以通過平移，旋轉，拼割等方法來求．