Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．易證：CE=CF．

（1）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．試猜想GE，BE，GD三線段之間的數量關系，并證明你的結論．
（2）運用（1）中解答所積累的經驗和知識，完成下面兩題：
①如圖2，在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，點E，點G分別是AB邊，AD邊上的動點．若∠BCD=α，∠ECG=β，試探索當α和β滿足什么關系時，圖1中GE，BE，GD三線段之間的關系仍然成立，并說明理由．
②在平面直角坐標中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖3）．設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？若不變，請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：GE=BE+GD，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，F是AD延長線上一點，

∴BC=DC，∠FDC=∠EBC=90°，

在△EBC和△FDC中， ，

∴△EBC≌△FDC（SAS），

∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，

∵∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，

∴∠DCG+∠DCF=45°，

∴∠ECG=∠FCG，

在△ECG和△FCG中， ，

∴△ECG≌△FCG（SAS），

∴EG=GF，

∴GE=BE+GD

（2）

解：①α=2β時，GE=BE+GD；理由如下：

延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，如圖（2）所示：

∵∠B=∠D=90°，

∴∠B=∠FDC=90°，

在△EBC和△FDC中， ，

∴△EBC≌△FDC（SAS），

∴∠DCF=∠BCE，CE=CF，

∴∠BCE+∠DCG=∠GCF，

當α=2β時，∠ECG=∠FCG，

在△ECG和△FCG中， ，

∴△ECG≌△FCG（SAS），

∴EG=GF，

∴GE=BE+GD；

②在旋轉正方形OABC的過程中，P值無變化；

延長BA交y軸于E點，如圖（3）所示：

則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．

在△OAE和△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（ASA）．

∴OE=ON，AE=CN．

在△OME和△OMN中， ．

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．

∴在旋轉正方形OABC的過程中，P值無變化．

【解析】（1）由SAS證得△EBC≌△FDC，再由SAS證得△ECG≌△FCG，可得到EG=FG，即可得出結果；（2）①延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，結合條件可證得△ECG≌△FCG，故EG=GF，可得出結論；②延長BA交y軸于E點，可證得△OAE≌△OCN，進一步可證得△OME≌△OMN，可求得MN=AM+AE