Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點O為AB中點，一個足夠大的三角板的直角頂點與點O重合，一邊OE經過點C，另一邊OD與AC交于點M．

（1）如圖1，當∠A=30°時，求證：MC²=AM²+BC²；
（2）如圖2，當∠A≠30°時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你認為正確的結論，并說明理由；
（3）將三角形ODE繞點O旋轉，若直線OD與直線AC相交于點M，直線OE與直線BC相交于點N，連接MN，則MN²=AM²+BN²成立嗎？
答：　 　（填“成立”或“不成立”）

Answer 1

解：（1）證明：如圖，過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，

∵∠ACB=90°，∴BC∥AF。∴△BOC∽△AOF。
∴。
∵O為AB中點，∴OA=OB。∴AF=BC，CO=OF。
∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中，
由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²。
（2）還成立。理由如下：
如圖，過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，

∵∠ACB=90°，∴BC∥AF。∴△BOC∽△AOF。
∴。
∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF。
∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分線。
∴CM=MF。
在Rt△AMF中，
由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²。
（3）成立

試題分析：（1）過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，根據相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據勾股定理求出即可。
（2）過A作AF⊥AC交CO延長線于F，連接MF，根據相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據勾股定理求出即可；
（3）結論依然成立。
如圖，以MN的中點P為圓心，MN為直徑畫圓，則因為∠ACB=90°，∠DOE=90°，所以，根據圓周角定理，O、C在⊙P上。

若MN與AB不平行，設⊙P與AB交于另一點F，
根據割線定理，得，
∵點O為AB中點，
∴。
兩式相加，得，即。
若MN與AB平行，則易證⊙P與AB相切于點O，
根據切割線定理，得，即
兩式相加，得，即。
∴不論MN與AB平行與否，總有。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，∴。
在Rt△MNC中，由勾股定理得：MN²=CM²+CN²，即，
∴。