Question

22、已知△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根．
（1）求證：無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）要證明無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實數根，就是證明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）要得到△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即要有BC²=AC²+AC²，然后根據根與系數的關系用k表示AC²+AC²，得到k的方程，解方程，再根據題意取舍即可．

解答：（1）證明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2﹚解：當△ABC是以BC為斜邊的直角三角形時，有AB²+AC²=BC²
又∵BC=5，兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根．
∴AB²+AC²=25，AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
由（AB+AC）²-2AB•AC=25
∴（2k+3）²-2•（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0，（k-2）（k+5）=0，
∴k₁=2或k₂=-5
又∵AB+AC=2k+3＞0
∴k₂=-5舍去
∴k=2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法．