Question

已知拋物線y=ax²+x+2（a＜0）．
（1）若對稱軸為直線x=

1

2

．①求a的值；②在①的條件下，若y的值為正整數，求x的值；
（2）當a=a₁時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點M（m，0）；當a=a₂時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點N（n，0）．若點M在點N的左邊，試比較a₁與a₂的大小．

Answer 1

分析：（1）根據對稱軸公式可求a的值，由拋物線開口向下，根據拋物線的最大值，求y的正整數值，將y的正整數值代入拋物線解析式，求x的值；
（2）將a=a₁，x=m代入y=ax²+x+2中，可求a₁，同理可求a₂，利用作差法求a₁-a₂，并化簡，根據點M，N在x軸的正半軸上，且點M在點N的左邊，得0＜m＜n，由此判斷a₁-a₂的符號，判斷a₁與a₂的大小．

解答：解：（1）①由對稱軸x=-

1

2a

=

1

2

，得a=-1；
②∵拋物線y=-x²+x+2開口向下，拋物線有最大值為

-8-1

-4

=

9

4

，
∴拋物線y=-x²+x+2的正整數值只能為1或2，
當y=1時，-x²+x+2=1，解得x₁=

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，
當y=2時，-x²+x+2=2，解得x₃=0，x₄=1，
∴x的值為

1+ 5

2

，x₂=

1- 5

2

，0或1．

（2）方法一：
∵當a=a₁時，拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸相交于點M（m，0），
∴a₁m²+m+2=0，m≠0，∴a₁=-

m+2

m2

，
同理，得a₂=-

n+2

n2

，
∴a₁-a₂=-

m+2

m2

-（-

n+2

n2

）=

-n2m-2n2+m2n+2m2

m2n2

=

mn(m-n)+2(m-n)(m+n)

m2n2

=

(m-n)(mn+2m+2n)

m2n2

，
又∵點M，N在x軸的正半軸上，且點M在點N的左邊，
∴0＜m＜n，∴m-n＜0，∴

(m-n)(mn+2m+2n)

m2n2

＜0，
即a₁＜a₂；
方法二：
拋物線y=ax²+x+2的對稱軸為x=-

1

2a

，
當a＞0時，x=-

1

2a

＜0，
此時，拋物線y=ax²+x+2的對稱軸在y軸的左側，
又∵拋物線y=ax²+x+2與y軸相交于點（0，2），
∴拋物線y=ax²+x+2與x軸的正半軸無交點．
∴a＞0不合題意；
當a＜0時，即a₁＜0，a₂＜0．
經過點M的拋物線y=a₁x²+x+2的對稱軸為x=-

1

2a1

，
經過點N的拋物線y=a₂x²+x+2的對稱軸為x=-

1

2a2

，
∵點M在點N的左邊，且拋物線經過點（0，2），
（此時兩條拋物線如圖所示）．

∴直線x=-

1

2a1

在直線x=-

1

2a2

的左側，
∴-

1

2a1

＜-

1

2a2

，∴a₁＜a₂．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據拋物線解析式求函數最大值，確定函數的正整數值，再根據函數的正整數值求對應的x值，根據函數式求a₁，a₂的表達式，利用作差法比較a₁，a₂的大小．