Question

如圖(1)，∆ABC為等邊三角形，AB=6，在直角三角板DEF中∠F=90°，∠FDE=60°，點D在邊BC上運動，邊DF始終經過點A，DE交AC于點G.

(1)求證:①∠BAD=∠CDG
②∆ABD∽∆DCG
(2)設BD=x,若CG=，求x的值；
(3)如圖2，當D運動到BC中點時，點P為線段AD上一動點，連接CP，將線段CP繞著點C逆時針旋轉60°得到CP' ，連接BP'，DP'，

①求∠CBP'的度數；②求DP'的最小值.

Answer 1

（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）x₁=1,x₂=5;(3) ①∠CBP'="30°" ; ②DP′=1.5.

試題分析：(1) ①利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，即可求證. ②利用兩角相等的三角形相似.(2)利用前面所得的三角形相似，由對應邊成比例，可求得x的值.（3）①根據旋轉的性質，旋轉前后的圖形對應線段、對應角相等，可證得△ACP≌△BCP′,從而∠CAP=∠CBP′,然后根據等腰三角形的“三線合一”性質，得到∠CBP′=30°. ②根據“垂線段最短”這一定理，當∠BP′D=90°時，DP′最短.
試題解析：(1)①∵∠ADC=∠B+∠BAD, ∠ADC=∠ADG+∠CDG
∴∠B+∠BAD=∠ADG+∠CDG
∵三角形ABC是等邊三角形
∴∠B=∠C=60°
∵∠ADG=60°
∴∠BAD=∠CDG
②由①知∠BAD=∠CDG
∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCG
(2)由（1）知△ABD∽△DCG，所以AB:CD=BD:CG,CD=6-x,AB=6,CG=,BD=x,代入可求得：x=1或5.
(3) ①由旋轉知∠PCP′=60°,CP=CP′,
∵△ABC是等邊三角形
∴AC="BC," ∠ACB=60°
∴∠ACP=∠BCP′
∴△ACP≌△BCP′
∠CBP′=∠CAD=30°
②根據“垂線段最短”可知，當DP′⊥BP′時，DP′最短，此時，由于∠CBP′=30°,所以DP′=BD=1.5.