Question

【題目】我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．

（1）①在平行四邊形，矩形，菱形、正方形中，一定是十字形的有 ；

②若凸四邊形ABCD是十字形，AC＝a，BD＝b，則該四邊形的面積為 ；

（2）如圖1，以等腰Rt△ABC的底邊AC為邊作等邊三角形△ACD，連接BD，交AC于點O， 當 ≤S 四邊形≤ 時，求BD的取值范圍；

（3）如圖2，以十字形ABCD的對角線AC與BD為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy，若計 十字形ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為：S1，S2，S3，S4，且同時滿足列四個條件：

① ；② ；③十字形ABCD的周長為32：④∠ABC＝60°； 若E為OA的中點，F為線段BO上一動點，連接EF，動點P從點E出發，以1cm/s 的速度沿線段EF勻速運動到點F，再以2cms 的速度沿線段FB勻速運動到點B，到達點B 后停止運動，當點P沿上述路線運動 到點B所需要的時間最短時，求點P走完全程所需的時間及直線EF的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①菱形和正方形；②ab；（2）≤BD≤2；（3）點P走完全程所需的時間t=，直線EF的解析式為y=x+．

【解析】

（1）①根據菱形，正方形和矩形的性質即可判斷；

②根據對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半計算即可；

（2）設AC的長為x，根據△ABC為等腰直角三角形，△ACD為等邊三角形，得出OB=x，OD==x，即BD=x+x，再根據≤S四邊形≤運算即可；

（3）首先設A（-a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，-d），然后根據，，得出a=c，b=d，再結合已知條件推吹四邊形ABCD是有一個角為60°的菱形，根據菱形ABCD的周長為32，即可得出AB=8，OA=4，OB=，OE=2，過F點作FM⊥BC交BC于M點，可得FM=FBsin30°=FB，可得點P的運動時間t==EF+FB=EF+FM，當E，F，M三點共線時EF+FM的值最小，由此可推出t=；根據在Rt△EOF中，OE=2，∠FEO=30°，可推出F（0，），再結合點E的坐標為（-2，0），即可求出EF的解析式．

（1）①∵菱形和正方形的對角線互相垂直，矩形的對角線不互相垂直，

∴菱形和正方形一定是十字形；

②對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，

∴四邊形的面積為ab；

（2）設AC的長為x，

∵△ABC為等腰直角三角形，△ACD為等邊三角形，

∴OB=x，OD==x，

∴BD=x+x，

∵≤S四邊形≤

≤x（x+x）≤

≤x2≤

≤x2≤

≤x≤

∴≤x≤

即≤BD≤2；

（3）設A（-a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，-d），

∴S1=ab，S2=cd，S3=ad，S4=bc，

∵，，

∴S=S1+S2+=ab+cd+，

S=S3+S4+=ad+bc+，

即ab+cd=ad+bc

ab-ad=bc-cd

a（b-d）=c（b-d）

即a=c，同理b=d，

∴△AOB≌△BOC，△AOB≌△AOD，

∴AB=BC，AB=AD，

∵∠ABC=60°，

∴四邊形ABCD是有一個角為60°的菱形，

∵菱形ABCD的周長為32，

∴AB=8，OA=4，OB=，

∵點E為OA的中點，

∴OE=2，

過F點作FM⊥BC交BC于M點，可得FM=FBsin30°=FB，

∴點P的運動時間t==EF+FB=EF+FM，

∴當E，F，M三點共線時EF+FM的值最小，

∵∠ECM=60°，AC=AB，點E為OA的中點，

∴CE=6，∠∠FEO=30°，E（-2，0），

∴CM=3，EM=，即t=，

在Rt△EOF中，OE=2，∠FEO=30°，

∴OF=，即F（0，），

∴設EF的解析式為y=kx+b，

將E，F的坐標代入得，

解得：，

∴EF的解析式為y=x+，

綜上：點P走完全程所需的時間t=，直線EF的解析式為y=x+．