Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2+1的對(duì)稱軸是直線x=1．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)D（n，y1），E（3，y2）在拋物線上，若y1＜y2，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)M（p，q）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣1＜p＜2時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x．（2）當(dāng)n＜﹣1或n＞3時(shí)，y1＜y2．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的對(duì)稱軸方程可求得m=1，從而可求得拋物線的表達(dá)式；

（2）將x=3代入拋物線的解析式，可求得y2=3，將y=3代入拋物線的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由拋物線的開口向下，可知當(dāng)當(dāng)n＜﹣1或n＞3時(shí)，y1＜y2；

（3）先根據(jù)題意畫出點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)M′的軌跡，然后根據(jù)點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方，列出關(guān)于k的不等式組即可求得k的取值范圍．

解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

∴x=﹣=﹣=1．

解得：m=1．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x．

（2）將x=3代入拋物線的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．

將y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．

解得：x1=﹣1，x2=3．

∵a=﹣1＜0，

∴當(dāng)n＜﹣1或n＞3時(shí)，y1＜y2．

（3）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為M′，則點(diǎn)M′運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示：

∵當(dāng)P=﹣1時(shí)，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．

∴點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M1′的坐標(biāo)為（1，﹣3）．

∵當(dāng)P=2時(shí)，q=﹣22+2×2=0，

∴點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M2′的坐標(biāo)為（﹣2，0）．

①當(dāng)k＜0時(shí)，

∵點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方，

∴﹣2k﹣4≤0．

解得：k≥﹣2．

②當(dāng)k＞0時(shí)，

∵點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方，

∴k﹣4≤﹣3．

解得；k≤1．

∴k的取值范圍是﹣2≤k≤1．