Question

在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點分別為P、Q、M、N：

（1）如圖1，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結論；
（2）若在AB上取一點E，連結DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2）：
①判斷此時四邊形PQMN的形狀為______（直接寫出你的結論）
②當AE=6，EB=3，求此時四邊形PQMN的周長（結果保留根號）

Answer 1

（1）連結AC、BD．
∵PQ為△ABC的中位線，
∴PQ

∥

.

1

2

AC
同理MN

∥

.

1

2

AC．
∴MN

∥

.

PQ，
∴四邊形PQMN為平行四邊形；

（2）①四邊形PQMN是菱形；
②過點D作DF⊥AB于F，則DF=3

3

又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=

(3 3 )2+62

=3

7

∴由①知四邊形PQMN是菱形，可計算得周長是6

7

．