Question

（2012•武漢）如圖1，點A為拋物線C₁：y=

1

2

x²-2的頂點，點B的坐標為（1，0）直線AB交拋物線C₁于另一點C
（1）求點C的坐標；
（2）如圖1，平行于y軸的直線x=3交直線AB于點D，交拋物線C₁于點E，平行于y軸的直線x=a交直線AB于F，交拋物線C₁于G，若FG：DE=4：3，求a的值；
（3）如圖2，將拋物線C₁向下平移m（m＞0）個單位得到拋物線C₂，且拋物線C₂的頂點為點P，交x軸于點M，交射線BC于點N．NQ⊥x軸于點Q，當NP平分∠MNQ時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線C₁的解析式，易得頂點A的坐標，利用待定系數法可求得直線BC的解析式，聯立拋物線C₁的解析式后可求得C點坐標．
（2）將x=3代入直線AB、拋物線C₁的解析式中，先求出點D、E的坐標及DE的長，根據FG、DE的比例關系，可求出線段FG的長．同理，先用a表示線段FG的長，然后結合FG的長列出關于a的方程，由此求出a的值．
（3）根據二次函數的平移規律，先求出拋物線C₂的解析式和頂點P的坐標，聯立直線AB的解析式可得到點N的坐標．結合N、Q、M三點坐標，易發現△MNQ是等腰直角三角形，過N作NH⊥y軸于H，設MN交y軸于T，那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形，由此求出OT、HT、PT的長；NP是∠MNQ的角平分線，且NQ∥y軸，能證得△NTP是等腰三角形，即NT=TP，由此求出P點的坐標，結合拋物線C₂的解析式，即可確定m的值．

解答：解：（1）∵當x=0時，y=-2；
∴A（0，-2）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則：

-2=b 0=k+b

，
解得

k=2 b=-2

∴直線AB解析式為y=2x-2．
∵點C為直線y=2x-2與拋物線y=

1

2

x²-2的交點，則點C的橫、縱坐標滿足：

y= 1 2 x2-2 y=2x-2

，
解得

x1=4 y1=6

、

x2=0 y2=-2

（舍）
∴點C的坐標為（4，6）．

（2）直線x=3分別交直線AB和拋物線C₁于D、E兩點．
∴y_D=4，y_E=

5

2

，
∴DE=

3

2

．
∵FG：DE=4：3，
∴FG=2．
∵直線x=a分別交直線AB和拋物線C₁于F、G兩點．
∴y_F=2a-2，y_G=

1

2

a²-2
∴FG=|2a-

1

2

a²|=2，
解得：a₁=2，a₂=2+2

2

，a₃=2-2

2

．

（3）設直線MN交y軸于T，過點N做NH⊥y軸于點H；

設點M的坐標為（t，0），拋物線C₂的解析式為y=

1

2

x²-2-m；
∴0=

1

2

t²-2-m，
∴-2-m=-

1

2

t²．
∴y=

1

2

x²-

1

2

t²，
∴點P坐標為（0，-

1

2

t²）．
∵點N是直線AB與拋物線y=

1

2

x²-

1

2

t²的交點，則點N的橫、縱坐標滿足：

y= 1 2 x2- 1 2 t2 y=2x-2

，
解得

x1=2-t y1=2-2t

或

x2=2+t y2=2+2t

（舍）．
∴N（2-t，2-2t）．
NQ=2-2t，MQ=2-2t，
∴MQ=NQ，
∴∠MNQ=45°．
∴△MOT、△NHT均為等腰直角三角形，
∴MO=OT，HT=HN
∴OT=-t，NT=

2

（2-t），PT=-t+

1

2

t²．
∵PN平分∠MNQ，
∴∠MNP=∠PNQ，
∵NQ∥PT，
∴∠NPT=∠PNQ，
∴∠MNP=∠NPT，
∴PT=NT，
∴-t+

1

2

t²=

2

（2-t），
∴t₁=-2

2

，t₂=2（舍）
-2-m=-

1

2

t²=-

1

2

（-2

2

）²，
∴m=2．

點評：該二次函數綜合題涉及到函數圖象交點坐標的求法、等腰三角形的判定與性質等知識．（3）題的難度較大，找到特殊角是解題的關鍵．