Question

【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.

（1）當點D在AC上時,如下面圖1,線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？請直接寫出結論，不需要證明.

（2）將下面圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°<α<90°),如下圖2,上述關系是否成立？如果成立請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，見解析

【解析】

（1）根據SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的性質得出BD=CE，∠ABD=∠EAC，然后在△ABD和△CDF中，由三角形內角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CE；

（2）根據SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的性質得出BD=CE，∠ABF=∠ECA，作輔助線BH構建對頂角，再根據三角形內角和即可得解.

（1）BD=CE，BD⊥CE；理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE

在△ABD與△ACE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

延長BD交EC于F，如圖所示：

由△ABD≌△ACE，得∠ABD=∠EAC

∵∠ADB=∠CDF

∴∠CFD=∠DAB=90°

∴BD⊥CE；

（2）成立；理由如下：

延長BD交AC于F，交CE于H，如圖所示：

∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAD-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE

在△ABD與△ACE中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE

在△ABF與△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE