Question

某小型企業獲得授權生產甲、乙兩種奧運吉祥物，生產每種吉祥物所需材料及所獲利潤如下表：

	A種材料（m2）	B種材料（m2）	所獲利潤（元）
每個甲種吉祥物	0.3	0.5	10
每個乙種吉祥物	0.6	0.2	20

該企業現有A種材料900m²，B種材料850m²，用這兩種材料生產甲、乙兩種吉祥物共2000個．設生產甲種吉祥物x個，生產這兩種吉祥物所獲總利潤為y元．
（1）求出y（元）與x（個）之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（2）該企業如何安排甲、乙兩種吉祥物的生產數量，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）本題的等量關系是：總利潤=生產甲吉祥物的利潤+生產乙吉祥物的利潤，可根據此得出函數關系式，然后根據生產甲吉祥物用的A材料+生產乙吉祥物用的A材料≤900；生產甲吉祥物用的B材料+生產乙吉祥物用的B材料≤850．來列出不等式組求出自變量的取值范圍．
（2）根據（1）得出的函數關系式，以及自變量的取值范圍，依據函數的性質判斷出最大利潤及生產方案．

解答：解：（1）根據題意得y=10x+20（2000-x）
∴y=-10x+40000
由題意

0.3x+0.6(2000-x)≤900 0.5x+0.2(2000-x)≤850

解得1000≤x≤1500
∴自變量x的取值范圍是1000≤x≤1500且x是整數．

（2）由（1）y=-10x+40000
∵k=-10＜0
∴y隨x的增大而減小
又∵1000≤x≤1500且x是整數
∴當x=1000時，y有最大值，最大值是-10×1000+40000=30000（元）
∴生產甲種吉祥物1000個，乙種吉祥物1000個，所獲利潤最大，最大利潤為30000元．

點評：解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系．準確的解不等式是需要掌握的基本計算能力，要熟練掌握利用自變量的取值范圍求最值的方法．