Question

對于二次函數C：y=x²-4x+6和一次函數l：y=-x+6，把y=t（x²-4x+6）+（1-t）（-x+6）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中，t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．設二次函數C和一次函數l的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求點A，B的坐標，并判斷這兩個點是否在拋物線E上；
（2）二次函數y=-x²+5x+5是二次函數y=x²-4x+6和一次函數y=-x+6的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
（3）若拋物線E與坐標軸的三個交點圍成的三角形面積為6，求拋物線E的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯立二次函數C與一次函數l的解析式，消掉y得到關于x的一元二次方程，解方程再求出相應的y的值，即可得到A、B的坐標，然后把點A、B的坐標代入拋物線E的解析式進行驗證即可；
（2）根據拋物線E必過定點A、B，代入二次函數y=-x²+5x+5進行驗證即可；
（3）設拋物線E截x軸的線段長為a，先利用三角形的面積求出a的長，再根據點B的坐標求出與x軸的另一交點的坐標，然后代入拋物線求解即可得到t的值，從而得解．
解答：解：（1）聯立，
消掉y得，x²-4x+6=-x+6，
整理得，x²-6x=0，
解得x₁=0，x₂=6，
∴y₁=6，y₂=-6+6=0，
∴點A（0，6），B（6，0），
當x=0時，y=t（×0²-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，
當x=6時，y=t（×6²-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，
∴點A、B在拋物線E上；

（2）∵拋物線E一定經過點A、B，
而對于二次函數y=-x²+5x+5，當x=0時，y=5≠6，
∴二次函數y=-x²+5x+5不是二次函數y=x²-4x+6和一次函數y=-x+6的一個“再生二次函數”；

（3）由（1）得，拋物線E與x軸的一個交點為B，與y軸的交點為A，
設拋物線E截x軸的線段長為a，則S=a×6=6，
解得a=2，
所以，與x軸的另一個交點為（4，0）或（8，0），
點（4，0）代入拋物線E得，y=t（×4²-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，
解得t=，
此時y=（x²-4x+6）+（1-）（-x+6）=x²-x+6，
點（8，0）代入拋物線E得，y=t（×8²-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，
解得t=，
此時，y=（x²-4x+6）+（1-）（-x+6）=x²-x+6．
點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要利用了聯立兩函數解析式求交點坐標，驗證點是否在二次函數圖象上，三角形的面積，二次函數圖象上點的坐標特征，讀懂題目信息，理解“再生二次函數”的定義是解題的關鍵．