Question

【題目】如圖，在四邊形ABDC中，∠D=∠B=90°，點O為BD的中點，且AO平分∠BAC.

（1）求證：CO平分∠ACD;

（2）求證：OA⊥OC;

（3）求證：AB+CD=AC.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題（1）過點O作OE⊥AC于E，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OB=OE，從而求出OE=OD，然后根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明；
（2）利用“HL”證明△ABO和△AEO全等，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，然后求出∠AOC=90°，再根據垂直的定義即可證明；
（3）根據全等三角形對應邊相等可得AB=AE，CD=CE，然后證明即可．

試題解析：

（1）過點O作OE⊥AC于E，
∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，
∴OB=OE，
∵點O為BD的中點，
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∴OC平分∠ACD；
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE，
同理求出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE= ×180°=90°，
∴OA⊥OC；
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE，
同理可得CD=CE，
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．