Question

某市種植某種綠色蔬菜，全部用來出口．為了擴大出口規模，該市決定對這種蔬菜的種植實行政府補貼，規定每種植-畝這種蔬菜一次性補貼菜農若干元．經調查，種植畝數y（畝）與補貼數額x（元）之間大致滿足如圖1所示的一次函數關系．隨著補貼數額x的不斷增大，出口量也不斷增加，但每畝蔬菜的收益z（元）會相應降低，且z與x之間也大致滿足如圖2所示的一次函數關系．
（1）在政府未出臺補貼措施前，該市種植這種蔬菜的總收益額為多少？
（2）分別求出政府補貼政策實施后，種植畝數y和每畝蔬菜的收益z與政府補貼數額x之間的函數關系式；
（3）要使全市這種蔬菜的總收益w（元）最大，政府應將每畝補貼數額x定為多少？并求出總收益w的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知直接計算這種蔬菜的收益額為3000×800=2400000（元）；
（2）設種植畝數y和每畝蔬菜的收益z與政府補貼數額x之間的函數關系式分別為：y=kx+800，z=k₁x+3000，并根據圖象上點的坐標利用待定系數法求函數的解析式即可；
（3）表示出蔬菜的總收益w（元）與x之間的關系式，w=-24x²+21600x+2400000，利用二次函數最值問題求最大值．
解答：解：（1）政府沒出臺補貼政策前，這種蔬菜的收益額為3000×800=2400000（元）

（2）設種植畝數y和每畝蔬菜的收益z與政府補貼數額x之間的函數關系式分別為：
y=kx+800，z=k₁x+3000，
分別把點（50，1200），（100，2700）代入得，
50k+800=1200，100k₁+3000=2700，
解得：k=8，k₁=-3，
種植畝數與政府補貼的函數關系為：y=8x+800
每畝蔬菜的收益與政府補貼的函數關系為z=-3x+3000

（3）由題意：
w=yz=（8x+800）（-3x+3000）
=-24x²+21600x+2400000
∴當x=450，即政府每畝補貼450元時，總收益額最大，為7260000元．
點評：主要考查利用一次函數和二次函數的模型解決實際問題的能力．要先根據題意列出函數關系式，再代數求值．解題的關鍵是要分析題意根據實際意義準確的列出解析式，再把對應值代入求解．利用二次函數的頂點坐標求最值是常用的方法之一．