Question

（2004•海淀區）如示意圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A是x軸的負半軸上一點，以AO為直徑的⊙P經過點C（-8，4）．點E（m，n）在⊙P上，且-10＜m≤-5，n＜0，CE與x軸相交于點M，過C點作直線CN交x軸于點N，交⊙P于點F，使得△CMN是以MN為底的等腰三角形，經過E、F兩點的直線與x軸相交于點Q．
（1）求出點A的坐標；
（2）當m=-5時，求圖象經過E、Q兩點的一次函數的解析式；
（3）當點E（m，n）在⊙P上運動時，猜想∠OQE的大小會發生怎樣的變化？請對你的猜想加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C點作CD⊥x軸于點K，與⊙P相交于點D，AO為直徑．CK=KD，把相關數據代入CK²=AK•KO，可求得點A的坐標為（-10，0）；
（2）連接PD，PE，則m=-5，且P（-5，0），通過證明Rt△KPD∽Rt△PEQ，
得，即，所以PQ=．
則OQ=OQ+PQ=5+，可求點Q的坐標為，
設圖象經過E、Q兩點的一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法解得一次函數的解析式為；
（3）因為-10＜m≤-5，n＜0，可知點E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運動（點E不與點A、點D重合），在⊙P的四分之一的圓上任取一點E（點E不與點A、點D重合），連接PD，過點E作EH⊥x軸于點H，利用，得到∠OQE=∠PDK．根據∠PDK的大小始終不變，可知∠OQE的大小始終不變．
解答：解：（1）如圖1，過C點作CD⊥x軸于點K，與⊙P相交于點D，
∵AO為直徑，
∴CK=KD，CK²=AK•KO，
∵點C的坐標為（-8，4），
∴CK=4，OK=8，
∴4²=AK•8，
∴AK=2，
∴AO=10，
∴點A的坐標為（-10，0）；（2分）

（2）∵P（-5，0），K（-8，0），
∴PK=3，
如圖2，連接PD，PE，
∵m=-5，且P（-5，0），
∴PE⊥x軸于P，
又∵點E （-5，n）中⊙，且n＜0，
∴點E的坐標為（-5，-5），
∵△CMN是以MN為底的等腰三角形，
∴∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴
∴PD⊥EF，
∴∠DPK=∠QEP，
∴Rt△KPD∽Rt△PEQ，
∴，
即，
∴PQ=，
∴OQ=OQ+PQ=5+，
∴點Q的坐標為，
設圖象經過E、Q兩點的一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴一次函數的解析式為；（5分）

（3）猜想：當點E在⊙P上運動時，∠OQE的大小始終保持不變，（6分）
證明：因為-10＜m≤-5，n＜0，可知點E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運動（點E不與點A、點D重合），
如圖，在⊙P的四分之一的圓上任取一點E（點E不與點A、點D重合），連接PD，過點E作EH⊥x軸于點H，
∵∠CNM=∠CMN，
∴∠FCD=∠ECD，
∴，
∴PD⊥EF，
∴∠OQE=∠PDK，
∵∠PDK的大小始終不變，
∴∠OQE的大小始終不變，
綜上所述，當點E（m，n）在⊙P的四分之一的圓上運動（點E不與點A、點D重合）時，∠OQE的大小始終不變．（8分）
（注：其他解法酌情給分）
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．
解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義，待定系數法解函數解析式和相似三角形的性質來表示相應的線段之間的關系，再結合具體圖形的性質求解．
試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．