Question

【題目】如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=2，BF=.

【解析】

試題分析：（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．（2）利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段BC和BF的長．

試題解析：（1）證明：連接AE，在⊙O中，∵∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB．

∵∠CBF= ∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∴直線BF是⊙O的切線．（2）解：過點C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∴BE=ABsin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=，∴sin∠2===，cos∠2=== ，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴BF=.