Question

【題目】（本題12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數（m為常數）的圖象與x軸交于點A(－3，0)，與y軸交于點C，以直線x＝1為對稱軸的拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c為常數，且a≠0）經過A、C兩點，并與x軸的正半軸交于點B

(1) 求m的值及拋物線的函數表達式;

(2) 是否存在拋物線上一動點Q，使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的橫坐標；若存在，請說明理由;

(3) 若P是拋物線對稱軸上一動點，且使△ACP周長最小，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1，y1)，M2(x2，y2)兩點，試問是否為定值，如果是，請求出結果，如果不是請說明理由. （參考公式：在平面直角坐標之中，若A((x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離為）

Answer 1

【答案】解：(1) ，

(2) 存在. 設Q(x，)

① 當點C為直角頂點時,∵△ACO∽△CQE,∴x＝5.2;

當點A為直角頂點時,∵△ACO∽△AQE,∴x＝8.2;

綜上所述：Q點的橫坐標為5.2或8.2.

(3) 直線BC的解析式為,∴P(1，3)

設過點P的直線為：y＝kx＋3－k,

聯立，整理得x2＋(4k－2)x－4k－3＝0.

∴x1＋x2＝2－4k，x1x2＝－4k－3，y1－y2＝k(x1－x2)

∴

同理：，

∴, (請注意符號)

∴為定值.

【解析】試題分析：（1）首先求得m的值，根據拋物線對稱性得到B點坐標，根據A、B點坐標利用交點式求得拋物線的解析式；

（2）（4）問較為復雜，如答圖所示，分幾個步驟解決：

第1步：確定何時△ACP的周長最小．利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短的原理解決；

第2步：確定P點坐標P（1，3），從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3-k；

第3步：利用根與系數關系求得M1、M2兩點坐標間的關系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．這一步是為了后續的復雜計算做準備；

第4步：利用兩點間的距離公式，分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長度，相互比較即可得到結論： 為定值．這一步涉及大量的運算，注意不要出錯，否則難以得出最后的結論．

（3）分①若C為直角頂點，△ACO相似于△CQE，②若A為直角頂點，△ACO相似于

△AQE，兩種情況討論求解．

試題解析：

解：(1) ，

(2) 存在. 設Q(x，)

① 當點C為直角頂點時,∵△ACO∽△CQE,∴x＝5.2;

當點A為直角頂點時,∵△ACO∽△AQE,∴x＝8.2;

綜上所述：Q點的橫坐標為5.2或8.2.

() 直線BC的解析式為,∴P(1，3)

設過點P的直線為：y＝kx＋3－k,

聯立，整理得x2＋(4k－2)x－4k－3＝0.

∴x1＋x2＝2－4k，x1x2＝－4k－3，y1－y2＝k(x1－x2)

∴

同理：，

∴, (請注意符號)

∴為定值.