Question

（2008•棗莊）在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負半軸交于點B，且S_△OAB=6．
（1）求點A與點B的坐標；
（2）求此二次函數的解析式；
（3）如果點P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0，即可求得點A的坐標，由△AOB的面積公式可求得OB的長，進而得到點B的坐標；
（2）把點B的坐標代入拋物線的解析式，可求得k的值，確定出拋物線解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且點P在x軸上，故點P的位置有三種情況，由等腰三角形的性質分別求得即可
解答：解：（1）由解析式可知，點A的坐標為（0，4）．（1分）
∵S_△OAB=×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函數與x軸的負半軸交于點B，
∴點B的坐標為（-3，0）；（2分）

（2）把點B的坐標（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，
得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-．（4分）
∴所求二次函數的解析式為y=-x²-x+4．（5分）

（3）因為△ABP是等腰三角形，
所以：①如圖1，當AB=AP時，點P的坐標為（3，0）（6分）
②如圖2，當AB=BP時，點P的坐標為（2，0）或（-8，0）（8分）
③如圖，3，當AP=BP時，設點P的坐標為（x，0）根據題意，得=|x+3|．
解得x=．
∴點P的坐標為（，0）（10分）
綜上所述，點P的坐標為（3，0），（2，0），（-8，0），（，0）．
點評：本題考查了拋物線與坐標軸的關系，等腰三角形的性質，注意當△ABP是等腰三角形時，點P的位置有三種情況．