Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經過點E，且交BC于點F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BF=6，⊙O的半徑為5，求CE的長．

Answer 1

（1）見解析  （2）4

試題分析：（1）連接OE，證明∠OEA=90°即可；
（2）連接OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，由題意可知四邊形OECH為矩形，利用垂徑定理和勾股定理計算出OH的長，進而求出CE的長．
試題解析：（1）連接OE．

∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切線；
（2）連接OE、OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，

由題意可知四邊形OECH為矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=4，
∴CE=4．