Question

（2012•道里區二模）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠ABC的平分線交AC于點D，∠ADB繞點D旋轉至以∠A′DB′，當射線DA′經過AB的一個三等分點時，射線DB′直線BC于點E，則∠BED為

60或120

 度．

Answer 1

分析：設AB=6a，先分別解直角△ABC和直角△BCD，求出每一條邊和每一個角的大小，再根據三角形內角和定理求出∠ADB=120°．設線段A′D與AB邊交于點F，由于點F為AB的一個三等分點，所以可分兩種情況進行討論：①如果AF=

1

3

AB，先證明△DAF∽△ABD，得到∠ADF=∠BAD=30°，再由旋轉的性質得出∠A′DB′=∠ADB=120°，根據平角的定義求出∠CDE=30°，然后由三角形外角的性質求出∠BED=120°；②如果AF=

2

3

AB，先證明△DAF∽△CAB，得到∠ADF=∠ACB=90°，再由旋轉的性質得出∠BDB′=∠ADA′=90°，然后由三角形內角和定理求出∠BED=60°．

解答：解：設線段A′D與AB邊交于點F．設AB=6a．
在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=3a，AC=3

3

a，∠ABC=90°-∠A=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=120°．
在△DBC中，∵∠C=90°，∠DBC=30°，BC=3a，
∴DC=

3

a，BD=2DC=2

3

a，
∴AD=AC-DC=3

3

a-

3

a=2

3

a．
分兩種情況：
①如圖1，當AF=

1

3

AB時，則AF=2a．
∵AD=2

3

a，AB=6a，AF=2a，BD=2

3

a，
∴AD：AB=AF：BD，
又∵∠DAF=∠ABD=30°，
∴△DAF∽△ABD，
∴∠ADF=∠BAD=30°．
∵∠A′DB′=∠ADB=120°，
∴∠CDE=180°-∠ADF-∠A′DB′=30°，
∴∠BED=∠CDE+∠C=30°+90°=120°；
②如圖②，當AF=

2

3

AB時，
∵AD=2

3

a，AC=3

3

a，
∴AD：AC=AF：AB，
又∵∠A=∠A，
∴△DAF∽△CAB，
∴∠ADF=∠ACB=90°，
∴∠BDB′=∠ADA′=90°，
∴∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=180°-90°-30°=60°．
綜上可知，∠BED為60°或120°．
故答案為60或120．

點評：本題考查了解直角三角形，旋轉的性質，相似三角形的判定與性質，三角形內角和定理及外角的性質，綜合性較強，有一定難度，進行分類討論是解題的關鍵．