Question

【題目】已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連結MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO.

（1）直接寫出點D的坐標；

（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連結OP.

①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得的值最大.若存在，求出T點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ，；②

【解析】

試題分析：（1）根據矩形及平移的性質即可得到結果；

（2）①由，可得點B的坐標，根據拋物線經過原點可設，再根據拋物線經過點與點可求得拋物線的解析式，則可設點再分∽與∽兩種情況，根據相似三角形的性質即可求得結果；

②先求得拋物線的對稱軸為直線，根據拋物線的對稱性可得，則要使得的值最大，即是使得的值最大，根據三角形的三邊關系可得當、、三點在同一直線上時，的值最大，根據待定系數法求得直線的解析式，即可求得結果.

（1）；

（2）① ∵，

∴

∵拋物線經過原點

∴設拋物線的解析式為

又拋物線經過點與點

∴，解得：

∴拋物線的解析式為

∵點在拋物線上

∴設點

1)若∽，則，

解得(舍去)，，

∴點.

2)若∽，則，，

解得(舍去)，，

∴點

②存在點，使得的值最大.

拋物線的對稱軸為直線，設拋物線與軸的另一個交點為，則點.

∵點、點關于直線對稱，

∴

要使得的值最大，即是使得的值最大，

根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當、、三點在同一直線上時，的值最大.設過、兩點的直線解析式為，

∴ 解得：

∴直線的解析式為.

當時，.

∴存在一點使得最大.