Question

如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點，且AE=BF=CG=DH．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH，
即：OE=OF=OG=OH，
∴四邊形EFGH是矩形；

（2）解：∵G是OC的中點，
∴GO=GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO=∠DGC=90°，
又∵DG=DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD=OD，
∵F是BO中點，OF=2cm，
∴BO=4cm，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DO=BO=4cm，
∴DC=4cm，DB=8cm，
∴CB==4，
∴矩形ABCD的面積=4×4=16cm²．
分析：（1）首先證明四邊形EFGH是平行四邊形，然后再證明HF=EG；
（2）根據題干求出矩形的邊長CD和BC，然后根據矩形面積公式求得．
點評：本題主要考查矩形的判定，首先要判定四邊形是平行四邊形，然后證明對角線相等．