Question

如圖，⊙O內切于Rt△ABC，∠C=Rt∠，D、E、F是切點，若∠BOC=105°，AB=4cm，則∠OBC=

 

，∠BAC=

 

，BC=

 

cm，AC=

 

cm，內切圓半徑r=

 

cm．

Answer 1

分析：首先連接OF．根據角平分線的性質，可知∠BCO=∠OCA=45°，再多次利用直角三角形兩直角邊所對的角互余、角間的關系，求得∠OBC、∠BAC的度數．進而根據直角三角形中邊角間的關系，求得BC、AC的長．利用直角三角形內切圓半徑r=

AC•BC

AB+AC+BC

求得r的值．

解答：解：連接OF，
根據角平分線的性質，可知∠BCO=∠OCA=45°，
∴∠FOC=90°-∠BCO=90°-45°=45°，
∴∠BOF=∠BOC-∠FOC=105°-45°=60°，
在Rt△BFO中，∠FBO=90°-∠BOF=30°，
∴∠ABC=2∠FBO=60°，
∴∠A=90°-∠ABC=30°，
∵AB=4，
∴BC=AB•sin∠A=4×

1

2

=2，
AC=AB•cos∠A=4×

3

2

=2

3

，
內切圓半徑r=

AC•BC

AB+AC+BC

=

2×2 3

4+2 3 +2

=

3

-1．
故答案為：30°，30°，2，2

3

，

3

-1．

點評：本題考查三角形內切圓半徑與內心．做好本題的關鍵是添加輔助線FO，建立起各角間的關系．